Laplace-Transformationsrechner
Laplace-Transformation
Geben Sie eine Funktion von t ein (z.B. "sin(a*t)", "exp(-t)", "t**2"):
Inverse Laplace-Transformation
Geben Sie eine Funktion von s ein (z.B. "1/(s**2+1)", "s/(s**2+a**2)"):
Über Laplace-Transformationen
Laplace-Transformationen, benannt nach dem berühmten französischen Mathematiker Pierre-Simon Laplace (1749-1827), sind ein leistungsstarkes mathematisches Werkzeug, das in verschiedenen Wissenschafts- und Ingenieurbereichen weit verbreitet ist. Diese Integraltransformationen bieten eine Methode, komplexe Differentialgleichungen in einfachere algebraische Gleichungen umzuwandeln, was deren Lösung und Analyse erleichtert.
Historischer Kontext
Das Konzept der Laplace-Transformationen entstand aus Laplaces Arbeiten zur Wahrscheinlichkeitstheorie und Himmelsmechanik im späten 18. und frühen 19. Jahrhundert. Doch erst im 20. Jahrhundert wurde ihr volles Potenzial bei der Lösung von Differentialgleichungen und der Analyse von Systemen erkannt. Der Aufstieg der Operationalrechnung, entwickelt von Oliver Heaviside, brachte Laplace-Transformationen ins Rampenlicht, insbesondere in den Bereichen Physik und Ingenieurwesen.
Mathematische Definition
Formal ist die Laplace-Transformation einer Funktion f(t), definiert für alle reellen Zahlen t ≥ 0, die Funktion F(s), definiert durch:
F(s) = ℒ{f(t)} = ∫0∞ e-st f(t) dt
Hierbei ist s eine komplexe Frequenzvariable. Diese Integraltransformation wandelt im Wesentlichen eine Funktion der Zeit (t) in eine Funktion der komplexen Frequenz (s) um. Die inverse Laplace-Transformation kehrt diesen Prozess um, sodass wir vom Frequenzbereich in den Zeitbereich zurückkehren können.
Diese Umwandlung ist besonders nützlich für die Lösung von linearen Differentialgleichungen, die häufig in Physik, Elektrotechnik und Regelungstechnik auftreten.
Theorie der Laplace-Transformationen
Definition
Die Laplace-Transformation einer Funktion f(t), definiert für alle reellen Zahlen t ≥ 0, ist die Funktion F(s), definiert durch:
F(s) = ℒ{f(t)} = ∫0∞ e-st f(t) dt
wobei s eine komplexe Zahl als Frequenzparameter ist.
Eigenschaften
- Linearität: ℒ{af(t) + bg(t)} = aℒ{f(t)} + bℒ{g(t)}
- Differentiation: ℒ{f'(t)} = sF(s) - f(0)
- Integration: ℒ{∫0t f(τ)dτ} = (1/s)F(s)
- Zeitverschiebung: ℒ{f(t-a)u(t-a)} = e-asF(s)
- Frequenzverschiebung: ℒ{eatf(t)} = F(s-a)
- Faltung: ℒ{f(t) * g(t)} = F(s)G(s)
Häufige Laplace-Transformationspaare
| f(t) | F(s) = ℒ{f(t)} |
|---|---|
| 1 (Einheitsfunktion) | 1/s |
| t | 1/s2 |
| eat | 1/(s-a) |
| sin(ωt) | ω/(s2 + ω2) |
| cos(ωt) | s/(s2 + ω2) |
Beispiele
Beispiel 1: Laplace-Transformation von eat
Finden wir die Laplace-Transformation von f(t) = eat:
F(s) = ∫0∞ e-st eat dt
= ∫0∞ e(a-s)t dt
= [-1/(a-s) e(a-s)t]0∞
= 0 - [-1/(a-s)] = 1/(s-a)
Daher, ℒ{eat} = 1/(s-a)
Beispiel 2: Lösung einer Differentialgleichung
Lösen wir die Differentialgleichung: y'' + 4y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0
- Nehmen Sie die Laplace-Transformation beider Seiten:
ℒ{y''} + 4ℒ{y} = 0
- Verwenden Sie die Differentiationseigenschaft:
(s2Y(s) - sy(0) - y'(0)) + 4Y(s) = 0
- Setzen Sie die Anfangsbedingungen ein:
(s2Y(s) - s) + 4Y(s) = 0
- Lösen Sie für Y(s):
(s2 + 4)Y(s) = s
Y(s) = s / (s2 + 4)
- Erkennen Sie dies als die Laplace-Transformation von cos(2t):
y(t) = cos(2t)
Die Lösung der Differentialgleichung lautet daher y(t) = cos(2t).
Häufig gestellte Fragen
Was ist eine Laplace-Transformation?
Eine Laplace-Transformation ist eine Integraltransformation, die eine Funktion einer reellen Variablen t (oft Zeit) in eine Funktion einer komplexen Variablen s (Frequenz) umwandelt. Sie wird häufig in der Mathematik, Physik und Technik verwendet, um Differentialgleichungen zu lösen und lineare zeitinvariante Systeme zu analysieren.
Wie verwende ich diesen Laplace-Transformationsrechner?
Um den Rechner zu verwenden, geben Sie eine Funktion von t in das Eingabefeld für die Laplace-Transformation ein (z.B. 'sin(a*t)', 'exp(-t)', 't**2'). Klicken Sie auf 'Laplace-Transformation berechnen', um das Ergebnis zu erhalten. Für inverse Transformationen geben Sie eine Funktion von s in das Inverse-Eingabefeld ein und klicken Sie auf 'Inverse Laplace-Transformation berechnen'.
Welche Arten von Funktionen kann ich eingeben?
Sie können eine Vielzahl von Funktionen eingeben, darunter trigonometrische Funktionen (sin, cos), Exponentialfunktionen (exp), Polynome und Kombinationen davon. Der Rechner verwendet SymPy, daher können die meisten gängigen mathematischen Funktionen und Ausdrücke verarbeitet werden.
Ist dieser Rechner kostenlos?
Ja, dieser Laplace-Transformationsrechner ist völlig kostenlos. Es gibt keine versteckten Kosten oder Abonnementgebühren.
Wie genau sind die Ergebnisse?
Der Rechner verwendet SymPy, eine symbolische Mathematikbibliothek für Python, die sehr genaue Ergebnisse liefert. Bei sehr komplexen Funktionen oder Sonderfällen ist es jedoch immer eine gute Idee, die Ergebnisse mit anderen Methoden zu überprüfen oder einen Mathematikexperten zu konsultieren.