Calcolatore di Trasformata di Laplace
Trasformata di Laplace
Inserisci una funzione di t (es., "sin(a*t)", "exp(-t)", "t**2"):
Trasformata Inversa di Laplace
Inserisci una funzione di s (es., "1/(s**2+1)", "s/(s**2+a**2)"):
Informazioni sulle Trasformate di Laplace
Le trasformate di Laplace, prese dal famoso matematico francese Pierre-Simon Laplace (1749-1827), sono un potente strumento matematico ampiamente utilizzato in vari campi della scienza e dell'ingegneria. Queste trasformate integrali forniscono un metodo per convertire complesse equazioni differenziali in equazioni algebriche più semplici, rendendole più facili da risolvere e analizzare.
Contesto Storico
Il concetto di trasformate di Laplace è emerso dal lavoro di Laplace sulla teoria della probabilità e la meccanica celeste alla fine del XVIII e all'inizio del XIX secolo. Tuttavia, è stato solo nel XX secolo che il loro pieno potenziale nella risoluzione delle equazioni differenziali e nell'analisi dei sistemi è stato realizzato. L'avvento del calcolo operativo, sviluppato da Oliver Heaviside, ha portato le trasformate di Laplace sotto i riflettori, in particolare nei campi della fisica e dell'ingegneria.
Definizione Matematica
Formalmente, la trasformata di Laplace di una funzione f(t), definita per tutti i numeri reali t ≥ 0, è la funzione F(s) definita da:
F(s) = ∫₀^∞ e^(-st) f(t) dt
dove s è un numero complesso e l'integrale convergerà per valori appropriati di s. La trasformata inversa di Laplace permette di recuperare la funzione originale f(t) da F(s), fornendo così una potente tecnica per la soluzione delle equazioni differenziali.
Applicazioni
Le trasformate di Laplace trovano applicazione in una varietà di settori, tra cui:
- Controllo dei Sistemi: L'analisi dei sistemi di controllo per determinare stabilità e risposta temporale.
- Ingegneria Elettrica: La risoluzione di circuiti elettrici e l'analisi dei segnali.
- Fisica: Modelli di sistemi dinamici e risoluzione di equazioni del moto.
- Economia: Modelli economici e analisi delle serie temporali.
Con questo calcolatore online, gli utenti possono facilmente calcolare e visualizzare le trasformate di Laplace e le loro trasformate inverse, semplificando notevolmente l'apprendimento e l'applicazione di questi concetti matematici fondamentali.
Teoria delle Trasformate di Laplace
Definizione
La trasformata di Laplace di una funzione f(t), definita per tutti i numeri reali t ≥ 0, è la funzione F(s), definita da:
F(s) = ℒ{f(t)} = ∫0∞ e-st f(t) dt
dove s è un parametro di frequenza complesso.
Proprietà
- Linearità: ℒ{af(t) + bg(t)} = aℒ{f(t)} + bℒ{g(t)}
- Differenziazione: ℒ{f'(t)} = sF(s) - f(0)
- Integrazione: ℒ{∫0t f(τ)dτ} = (1/s)F(s)
- Spostamento temporale: ℒ{f(t-a)u(t-a)} = e-asF(s)
- Spostamento di frequenza: ℒ{eatf(t)} = F(s-a)
- Convoluzione: ℒ{f(t) * g(t)} = F(s)G(s)
Coppie di Trasformate di Laplace Comuni
| f(t) | F(s) = ℒ{f(t)} |
|---|---|
| 1 (passo unitario) | 1/s |
| t | 1/s2 |
| eat | 1/(s-a) |
| sin(ωt) | ω/(s2 + ω2) |
| cos(ωt) | s/(s2 + ω2) |
Esempi
Esempio 1: Trasformata di Laplace di eat
Calcoliamo la trasformata di Laplace di f(t) = eat:
F(s) = ∫0∞ e-st eat dt
= ∫0∞ e(a-s)t dt
= [-1/(a-s) e(a-s)t]0∞
= 0 - [-1/(a-s)] = 1/(s-a)
Quindi, ℒ{eat} = 1/(s-a)
Esempio 2: Risoluzione di un'equazione differenziale
Risolviamo l'equazione differenziale: y'' + 4y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0
- Prendi la trasformata di Laplace di entrambi i lati:
ℒ{y''} + 4ℒ{y} = 0
- Utilizza la proprietà di differenziazione:
(s2Y(s) - sy(0) - y'(0)) + 4Y(s) = 0
- Sostituisci le condizioni iniziali:
(s2Y(s) - s) + 4Y(s) = 0
- Risolvendo per Y(s):
(s2 + 4)Y(s) = s
Y(s) = s / (s2 + 4)
- Riconosci questo come la trasformata di Laplace di cos(2t):
y(t) = cos(2t)
Quindi, la soluzione dell'equazione differenziale è y(t) = cos(2t).
Domande Frequenti
Che cos'è una trasformata di Laplace?
Una trasformata di Laplace è una trasformazione integrale che converte una funzione di una variabile reale t (spesso tempo) in una funzione di una variabile complessa s (frequenza). È ampiamente utilizzata in matematica, fisica e ingegneria per risolvere equazioni differenziali e analizzare sistemi lineari invarianti nel tempo.
Come posso utilizzare questo calcolatore di trasformate di Laplace?
Per utilizzare il calcolatore, inserisci una funzione di t nel campo di input per la trasformata di Laplace (ad esempio, 'sin(a*t)', 'exp(-t)', 't**2'). Clicca su 'Calcola Trasformata di Laplace' per ottenere il risultato. Per le trasformate inverse, inserisci una funzione di s nel campo di input inverso e clicca su 'Calcola Trasformata Inversa di Laplace'.
Quali tipi di funzioni posso inserire?
Puoi inserire una vasta gamma di funzioni, comprese le funzioni trigonometriche (sin, cos), esponenziali (exp), polinomi e combinazioni di questi. Il calcolatore utilizza SymPy, quindi può gestire la maggior parte delle funzioni e delle espressioni matematiche comuni.
Questo calcolatore è gratuito da usare?
Sì, questo calcolatore di trasformate di Laplace è completamente gratuito da usare. Non ci sono costi nascosti o tasse di abbonamento.
Quanto sono accurati i risultati?
Il calcolatore utilizza SymPy, una libreria di matematica simbolica per Python, che fornisce risultati altamente accurati. Tuttavia, per funzioni molto complesse o casi speciali, è sempre una buona idea verificare i risultati con altri metodi o consultare un professionista della matematica.