Kalkulator Transformasi Laplace
Transformasi Laplace
Masukkan fungsi dari t (misalnya, "sin(a*t)", "exp(-t)", "t**2"):
Transformasi Laplace Invers
Masukkan fungsi dari s (misalnya, "1/(s**2+1)", "s/(s**2+a**2)"):
Tentang Transformasi Laplace
Transformasi Laplace, yang dinamai setelah matematikawan Prancis terkenal Pierre-Simon Laplace (1749-1827), adalah alat matematika yang kuat yang digunakan secara luas dalam berbagai bidang ilmu pengetahuan dan teknik. Transformasi integral ini memberikan metode untuk mengubah persamaan diferensial kompleks menjadi persamaan aljabar yang lebih sederhana, membuatnya lebih mudah untuk diselesaikan dan dianalisis.
Konteks Historis
Konsep transformasi Laplace muncul dari karya Laplace di bidang teori probabilitas dan mekanika langit pada akhir abad ke-18 dan awal abad ke-19. Namun, baru pada abad ke-20 potensi penuhnya dalam menyelesaikan persamaan diferensial dan menganalisis sistem terwujud. Munculnya kalkulus operasional, yang dikembangkan oleh Oliver Heaviside, membawa transformasi Laplace ke pusat perhatian, terutama di bidang fisika dan teknik.
Definisi Matematis
Secara formal, transformasi Laplace dari fungsi f(t), yang didefinisikan untuk semua bilangan riil t ≥ 0, adalah fungsi F(s) yang didefinisikan oleh:
F(s) = ℒ{f(t)} = ∫0∞ e-st f(t) dt
Di sini, s adalah parameter frekuensi bilangan kompleks. Transformasi integral ini pada dasarnya mengubah fungsi waktu (t) menjadi fungsi frekuensi kompleks (s). Transformasi Laplace invers membalik proses ini, memungkinkan kita untuk kembali dari domain frekuensi ke domain waktu.
Aplikasi
Transformasi Laplace digunakan dalam analisis sistem kontrol, pemodelan sirkuit elektronik, analisis getaran, pemecahan persamaan diferensial, dan banyak aplikasi rekayasa dan ilmu terapan lainnya. Metode ini juga bermanfaat dalam pemecahan masalah teknik, di mana perilaku sistem dinamis perlu dianalisis.
Teori Transformasi Laplace
Definisi
Transformasi Laplace dari fungsi f(t), yang didefinisikan untuk semua bilangan nyata t ≥ 0, adalah fungsi F(s), yang didefinisikan oleh:
F(s) = ℒ{f(t)} = ∫0∞ e-st f(t) dt
di mana s adalah parameter frekuensi bilangan kompleks.
Sifat-sifat
- Linearitas: ℒ{af(t) + bg(t)} = aℒ{f(t)} + bℒ{g(t)}
- Turunan: ℒ{f'(t)} = sF(s) - f(0)
- Integrasi: ℒ{∫0t f(τ)dτ} = (1/s)F(s)
- Perpindahan waktu: ℒ{f(t-a)u(t-a)} = e-asF(s)
- Perpindahan frekuensi: ℒ{eatf(t)} = F(s-a)
- Konvolusi: ℒ{f(t) * g(t)} = F(s)G(s)
Pasu Transformasi Laplace Umum
| f(t) | F(s) = ℒ{f(t)} |
|---|---|
| 1 (langkah unit) | 1/s |
| t | 1/s2 |
| eat | 1/(s-a) |
| sin(ωt) | ω/(s2 + ω2) |
| cos(ωt) | s/(s2 + ω2) |
Contoh
Contoh 1: Transformasi Laplace dari eat
Kita cari transformasi Laplace dari f(t) = eat:
F(s) = ∫0∞ e-st eat dt
= ∫0∞ e(a-s)t dt
= [-1/(a-s) e(a-s)t]0∞
= 0 - [-1/(a-s)] = 1/(s-a)
Oleh karena itu, ℒ{eat} = 1/(s-a)
Contoh 2: Menyelesaikan persamaan diferensial
Kita selesaikan persamaan diferensial: y'' + 4y = 0, y(0) = 1, y'(0) = 0
- Ambil transformasi Laplace dari kedua sisi:
ℒ{y''} + 4ℒ{y} = 0
- Gunakan sifat diferensiasi:
(s2Y(s) - sy(0) - y'(0)) + 4Y(s) = 0
- Substitusi kondisi awal:
(s2Y(s) - s) + 4Y(s) = 0
- Selesaikan untuk Y(s):
(s2 + 4)Y(s) = s
Y(s) = s / (s2 + 4)
- Kenali ini sebagai transformasi Laplace dari cos(2t):
y(t) = cos(2t)
Dengan demikian, solusi untuk persamaan diferensial adalah y(t) = cos(2t).
Pertanyaan yang Sering Diajukan
Apa itu transformasi Laplace?
Transformasi Laplace adalah transformasi integral yang mengubah fungsi dari variabel nyata t (sering kali waktu) menjadi fungsi dari variabel kompleks s (frekuensi). Ini banyak digunakan dalam matematika, fisika, dan teknik untuk menyelesaikan persamaan diferensial dan menganalisis sistem linier waktu-invariant.
Bagaimana cara menggunakan kalkulator transformasi Laplace ini?
Untuk menggunakan kalkulator, masukkan fungsi t di kolom input untuk transformasi Laplace (misalnya, 'sin(a*t)', 'exp(-t)', 't**2'). Klik 'Hitung Transformasi Laplace' untuk mendapatkan hasilnya. Untuk transformasi invers, masukkan fungsi s di kolom input invers dan klik 'Hitung Transformasi Laplace Invers'.
Fungsi apa saja yang bisa saya masukkan?
Anda dapat memasukkan berbagai jenis fungsi, termasuk fungsi trigonometri (sin, cos), eksponensial (exp), polinomial, dan kombinasi dari semuanya. Kalkulator ini menggunakan SymPy, jadi bisa menangani sebagian besar fungsi dan ekspresi matematika yang umum.
Apakah kalkulator ini gratis untuk digunakan?
Ya, kalkulator transformasi Laplace ini sepenuhnya gratis untuk digunakan. Tidak ada biaya tersembunyi atau biaya langganan.
Seberapa akurat hasilnya?
Kalkulator ini menggunakan SymPy, sebuah pustaka matematika simbolik untuk Python, yang memberikan hasil yang sangat akurat. Namun, untuk fungsi yang sangat kompleks atau kasus khusus, selalu merupakan ide yang baik untuk memverifikasi hasilnya dengan metode lain atau berkonsultasi dengan profesional matematika.